Mathématiques : Première et terminale PDF

14 : « Dès la classe de 6e, l’utilisation de calculatrices et de logiciels permet de familiariser les élèves avec le passage d’un type d’organisation et d’un type de présentation à un autre ». L’utilisation d’un tableur permet d’enrichir ce travail en le prolongeant à des situations plus complexes que celles qui peuvent être traitées à la main ». Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. Créer mathématiques : Première et terminale PDF graphique à partir des données d’une feuille de calcul ».


Statistique : « approche de caractéristiques de dispersion. La notion de dispersion est à relier, sur des exemples, au problème posé par la disparité des mesures d’une grandeur lors d’une activité expérimentale, en particulier en physique et chimie. Concevoir, mettre en oeuvre et exploiter des simulations de situations concrètes à l’aide du tableur ou d’une calculatrice ». Dans le cadre des probabilités : « Étudier et modéliser des expériences relevant de l’équiprobabilité. Proposer un modèle probabiliste à partir de l’observation de fréquences dans des situations simples ». En première S, on introduit les notions de variables aléatoires discrètes et de lois de probabilités.

A l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne et la variance d’une série de données » et indique « L’intervalle de fluctuation peut être déterminé à l’aide d’un tableur ou d’un algorithme ». Cette orientation de travailler sur des séries statistiques obtenues par simulation n’est pas propre aux programmes français . Les professeurs de mathématiques doivent être capables de planifier et conduire des expériences et des simulations, en distinguant les probabilités expérimentales et théoriques, de déterminer des probabilités expérimentales, d’utiliser des probabilités expérimentales et théoriques pour formuler et résoudre des problèmes de probabilités, et utiliser des simulations pour estimer les solutions de problèmes de hasard. Comment parier sur la somme des points obtenus avec 3 dés ? Bien que le 9 et le 12 se composent en autant de façon que le 10 et le 11, si bien qu’ils devraient être considérés comme ayant la même chance, on voit néanmoins que la longue observation a fait que les joueurs estiment plus avantageux le 10 et le 11 plutôt que le 9 et le 12 ». Question : est-il possible que « la longue observation » ait permis aux joueurs invétérés de remarquer les différences de fréquences entre les sommes 9 et 10 ? On peut répondre à cette question en simulant le lancer de 3 dés un très grand nombre de fois.

La simulation proposée ici sur Excel permet de répéter instantanément des suites de 1000 lancers, sans que les histogrammes des fréquences obtenues ne permettent de bien voir une différence. Combien de fois les joueurs italiens avaient-ils pu jouer ? Voici un exemple de fréquences observées sur une simulation de 1000 lancers. Mais cela suppose les divers cas également possibles. Option objectiviste  : les symétries du système générateur du hasard considéré engendrent l’équiprobabilité sur les issues possibles. La probabilité d’un événement est objectivement déterminée par le premier principe. Option de la modélisation  : les conditions de l’expérience permettent de proposer un modèle d’équiprobabilité dont la pertinence devra être contrôlée.

On peut associer à un événement le modèle de l’Urne de Bernoulli, contenant des boules équiprobables de deux couleurs dans une proportion donnée. Face à ces diverses interprétations de la notion de probabilité, il nous faut clarifier les enjeux de cet enseignement dans le second degré. Il faut dépasser le « langage des chances » ainsi que le débat « philosophique » entre objectivistes et subjectivistes, tout en présentant conjointement la notion de probabilité sous ses deux visages, classique et fréquentiste . Le point de vue de la modélisation réalise cet enjeu, donne des clés didactiques et contribue à la formation de la démarche scientifique : observation de la réalité – description – hypothèses – modèle abstrait – développement théorique – résolution de problèmes – interprétation dans le contexte réel – validation expérimentale. La probabilité est axiomatiquement définie comme un objet théorique, quantifiant idéalement la possibilité d’un événement calculée a priori ou estimée expérimentalement.

Une initiation au processus de modélisation fait donc partie des enjeux de l’enseignement secondaire de la statistique et des probabilités. La mise en œuvre de simulations concourt à cet objectif . Modéliser consiste à associer un modèle à des données expérimentales, alors que simuler consiste à produire des données à partir d’un modèle prédéfini. Pour simuler une expérience, on associe d’abord un modèle à l’expérience en cours, puis on simule la loi du modèle ». La simulation est l’expérimentation sur un modèle. L’approche fréquentiste suppose de reproduire une même expérience aléatoire dans les mêmes conditions. Il y a dans cette affirmation beaucoup d’implicites : peut-on remplacer un dé par un autre ?

Beaucoup d’élèves ne reconnaissent pas la similarité entre des expériences d’apparences différentes, mais qui se réfèrent implicitement au même modèle probabiliste. Dans les conditions de la simulation, celle-ci peut-elle vraiment remplacer l’expérience réelle et donner des réponses de nature probabiliste ? La notion de simulation est diversement présentée par les manuels : on peut trouver 4 sortes d’interprétations . La simulation est un substitut de l’expérience ou une simple représentation à l’écran. Il doit y avoir une analogie entre l’expérience et sa simulation.